\begin{align}\int_2^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^5-7z^3+12z}}&=\frac{\G^2(\frac{1}{4})}{12\sqrt{\pi}}\\\int_2^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^5-7z^3+6z^2+12z-24}}&=\frac{\G^2(\frac{1}{4})}{12\sqrt{2\pi}}\\\int_{2\sqrt{2}}^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^5-14z^3+8z^2+48z-64}}&=\frac{\G(\frac{1}{8})\G(\frac{3}{8})}{24\sqrt{2\pi}}\\\int_{2\sqrt{3}}^{\infty}\frac{dz}{\sqrt{z^5-21z^3+9z^2+108z-108}}&=\frac{\G^3(\frac{1}{3})}{3^{3/2}2^{7/3}\pi}\end{align}
根号内が3次の楕円積分を考えます．\begin{equation}I=\int\frac{dx}{\sqrt{x^3+Ax+B}}\tag{1}\end{equation}これに $x=z^3+a_2z^2+a_1z+a_0$ なる置換を施すと\begin{equation}I=\int\frac{dz}{\sqrt{Q(z)+\frac{R(z)}{(3z^2+2a_1z+a_1)^2}}}\tag{2}\end{equation}ただし\begin{align}Q(z)&=\frac{z^5}{9}+\frac{5a_2}{27}z^4+\frac{a_2^2+7a_1}{27}z^3+\frac{-5a_2^3+36a_1a_2+81a_0}{243}z^2\\&+\frac{8a_2^4-63a_1a_2^2+162a_0a_2+108a_1^2}{729}z-\frac{4a_2^5-34a_1a_2^3-324a_0a_1+81a_0a_2^2+72a_1^2a_2}{729}\tag{2}\end{align}\begin{align}R(z) &=r_3z^3+r_2z^2+r_1z+r_0\tag{3}\end{align}
となります．恒等的に $R(z)=0$ となるには $r_0,r_1,r_2,r_3$ がゼロになればよいです．また $Q(z)$ の $z^4$ の項は消しましょう．つまり\begin{equation}a_2=0\tag{4}\end{equation}としておきます．
これらの条件によって\begin{align}Q(z)&=\frac{1}{9}z^5+\frac{7a_1}{27}z^3+\frac{a_0}{3}z^2+\frac{4a_1^2}{27}z+\frac{4}{9}a_0a_1\\&=\frac{(3z^2+4a_1)(z^3+a_1z+3a_0)}{27}\tag{5}\end{align}\begin{align}A &=\frac{4a_1^3}{27}-3a_0^2\tag{6a}\\B &=\frac{8a_0a_1^3}{27}+2a_0^3\tag{6b}\end{align}
ここまでの話から次の式が分かります．
$x=z^3+a_1z+a_0$ なる置換によって\begin{align}&\int\frac{dx}{\sqrt{x^3+\left(\frac{4a_1^3}{27}-3a_0^2\right)x+\left(\frac{8a_0a_1^3}{27}+2a_0^3\right)}}\\&\quad =3\int\frac{dz}{\sqrt{z^5+\frac{7}{3}a_1z^3+3a_0z^2+\frac{4}{3}a_1^2z+4a_0a_1}}\end{align}
これで5次の超楕円積分が楕円積分に帰着される例が示されました．本質的な部分はここまでですが，定理１の積分がガンマ関数などの閉じた形で表現できるようにしたいです．そうなるためには $a_0,a_1$ の値がかなり制約されます．
そこでとりあえず $j$-invariant の式をつくっておきます．\begin{equation}j=\frac{432(4a_1^3-81a_0^2)^3}{a_1^3(4a_1^3+243a_0^2)^2}\tag{7}\end{equation}$j$ の代わりにモジュラス $k$ の式を作っておいてもいいと思います．
$j=1728$ とすると(7)より $a_1$ は任意で，$$a_0=0\;,\;\frac{2a_1\sqrt{-a_1}}{3\sqrt{3}}$$となります．これを満たすように $a_0,a_1$ を選びましょう．なお $j=1728$ はモジュラス $k=\frac{1}{\sqrt{2}}$ に対応し，楕円積分が計算できることが期待されます．特定のモジュラス(singular value)における楕円積分 $K$ の値についてはこちらを参照．
たとえば $a_0=0$ , $a_1=-3$ とします．\begin{align}\int_{2}^\infty\frac{dx}{\sqrt{x^3-4x}}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_1^\infty\frac{du}{\sqrt{u^3-u}}\\&=\frac{\G^2(\frac{1}{4})}{4\sqrt{\pi}}\end{align}を定理１に用いて
$$\int_2^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^5-7z^3+12z}}=\frac{\G^2(\frac{1}{4})}{12\sqrt{\pi}}$$
あるいは $a_1=-3$ , $a_0=2$ とした場合は同様にして
$$\int_2^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^5-7z^3+6z^2+12z-24}}=\frac{\G^2(\frac{1}{4})}{12\sqrt{2\pi}}$$
$j=8000$ とすると(7)より $a_1$ は任意で，$$a_0=\pm\frac{2\sqrt{2}a_1\sqrt{-a_1}}{9\sqrt{3}}$$などがあります（他にも値が見つかりますが，複雑なので省略）．$j=8000$ はモジュラス $k=\sqrt{2}-1$ に対応し，楕円積分が計算できることが期待されます．
計算に入る前に，次の事実を確認しておきます（Byrd et al.[2] p.68）．
$c<b<a$ とする．$$\int_a^\infty \frac{dt}{\sqrt{(t-a)(t-b)(t-c)}}=\frac{2}{\sqrt{a-c}}K\left(\sqrt{\frac{b-c}{a-c}}\right)$$
$a_1=-6$ , $a_0=\frac{8}{3}$ としましょう．定理１と補題４によって次の事実が導出できます．
$$\int_{2\sqrt{2}}^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^5-14z^3+8z^2+48z-64}}=\frac{\G(\frac{1}{8})\G(\frac{3}{8})}{24\sqrt{2\pi}}$$
ここで$$K(k_2)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\G(\frac{1}{8})\G(\frac{3}{8})}{2^\frac{13}{4}\sqrt{\pi}}$$を用いました．
$j=54000$ とすると(7)より $a_1$ は任意で，$$a_0=\pm\frac{a_1\sqrt{-a_1}}{9}$$などがあります（他にも値が見つかりますが，複雑なので省略）．$j=54000$ はモジュラス $k_3=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ に対応し，楕円積分が計算できることが期待されます．
$a_1=-9$ , $a_0=3$ とすると定理１と補題４によって
\begin{equation}\int_{2\sqrt{3}}^{+\infty}\frac{dz}{\sqrt{z^5-21z^3+9z^2+108z-108}}=\frac{\G^3(\frac{1}{3})}{3^{3/2}2^{7/3}\pi}\end{equation}
ここで$$K(k_3)=\frac{3^{\frac{1}{4}}\G(\frac{1}{3})^3}{2^\frac{7}{3}\pi}$$を用いました．
[1] Königsberger, L.. "Ueber die Reduction hyperelliptischer Integrale auf elliptische.." Journal für die reine und angewandte Mathematik 85 (1878): 273-294. [2] Byrd, P.F. and Friedman, M.D. (1971) Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists. 2nd Edition,Revised, Springer-Verlag.
Please support me!
記事を気に入って下さった方、「応援してあげてもいいよ」という方がいらっしゃったら15円から可能なので支援していただければ幸いです。情報発信を継続していくため、サーバー維持費などに充てさせていただきます。
ご支援いただいた方は、こちらで確認できます。
◎ Amazonギフトの場合、
Amazonギフト券- Eメールタイプ – Amazonベーシック
より、金額は空白欄に適当に(15円から)書きこんで下さい。受取人は「mamekebiamazonあっとgmail.com」です（あっとは@に置き換えてください）。贈り主は「匿名」等でOKです。全額がクリエイターに届きます。
◎ OFUSEは登録不要で、100円から寄付できます。金額の90%がクリエイターに届きます。
OFUSEで応援を送る◎ codocは登録不要で、100円から寄付できます。金額の85%がクリエイターに届きます。
