前回の記事はこちら：
超幾何関数の基礎的な知識を前提としています。超幾何関数が満たす微分方程式については
変換公式については例えば：
超幾何関数を応用した初等関数の積分は例えば：
ガンマ関数も駆使します：
Kummerによる次の変換公式を示す。\begin{eqnarray}\frac{2\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})}{\G(\frac{a+1}{2})\G(\frac{b+1}{2})}F\left(\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{b}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix};z\right)&=&F\left(\begin{matrix}a,b\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};\frac{1+\sqrt{z}}{2}\right)+F\left(\begin{matrix}a,b\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};\frac{1-\sqrt{z}}{2}\right)\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\frac{4\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})}{\G(\frac{a}{2})\G(\frac{b}{2})}\sqrt{z}F\left(\begin{matrix}\frac{a+1}{2},\frac{b+1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix};z\right)&=&F\left(\begin{matrix}a,b\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};\frac{1+\sqrt{z}}{2}\right)-F\left(\begin{matrix}a,b\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};\frac{1-\sqrt{z}}{2}\right)\end{eqnarray}また証明の過程で以下の補題が示される。$$F\left(\begin{matrix}a,b\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};z\right) = F\left(\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{b}{2}\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};4z(1-z)\right)$$\begin{eqnarray*}F\left(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right) &=& \frac{\G(c)\G(c-a-b)}{\G(c-a)\G(c-b)}F\left(\begin{matrix}a,b\\a+b-c+1\end{matrix};1-z\right)\\&&\quad+\frac{\G(c)\G(a+b-c)}{\G(a)\G(b)}(1-z)^{c-a-b}F\left(\begin{matrix}c-a,c-b\\c-a-b+1\end{matrix};1-z\right)\end{eqnarray*}
超幾何関数のとある特殊値を求める際に必要となった変換公式です。わざわざ１つの記事にするような公式ではないのですが、これを導出する際に、他の公式を導出するときにも使えそうな手法に出会いましたので、流れを記事としました。
参考文献はKummer,E.E."Über die hypergeometrische Reihe ..." Journal für die reine und angewandte Mathematik 15 (1836): 39-83. です。超幾何関数では超有名な論文のようです。ただ、ドイツ語なのでちゃんと読むのはしんどいです。英語の書籍ではBateman.H, Eldélyi.A, Higher Transcendental Functions vol.1 (1953)とかがいいと思います。
Kummerはたくさんの二次変換公式を導いているので、今から導出するのはあくまでそのうちの１つです。なお2次変換の全リストは Higher Transcendental Functions vol.1 の2.11節(1)～(36)式にあります。
超幾何微分方程式\begin{equation}z(1-z)u^{\prime\prime}+[c-(a+b+1)z]u'-abu=0\tag{1.1}\end{equation}の特殊解の1つは $F(a,b;c;z)$ です。$c=\frac{a+b+1}{2}$ とした場合、この方程式は\begin{equation}z(1-z)u^{\prime\prime}+\frac{a+b+1}{2}(1-2z)u'-abu=0\tag{1.2}\end{equation}であり、$F(a,b;\frac{a+b+1}{2};z)$ は(1.2)の特殊解となります。
さて $4z(1-z)=w$ と置くと $\frac{dw}{dz}=4(1-2z)$ なので\begin{equation}\frac{du}{dz}=4\sqrt{1-w}\frac{du}{dw}\;,\;\frac{d^2u}{dz^2}=16(1-w)\frac{d^2u}{dw^2}-8\frac{du}{dw}\tag{1.3}\end{equation}これを(1.2)に適用すると見事に\begin{equation}w(1-w)\frac{d^2u}{dw^2}+\left[\frac{a+b+1}{2}-\left(\frac{a+b}{2}+1\right)w\right]\frac{du}{dw}-\frac{ab}{4}u=0\tag{1.4}\end{equation}となるため、$F(\frac{a}{2},\frac{b}{2};\frac{a+b+1}{2};4z(1-z))$ も(1.2)の解であることが判明します。以上の2解はともに $z=0$ で特異点を持たず、一価であり、かつ簡単な計算により $z=0$ での値および一階微分での値が等しくなることが分かります。
ところで(1.1)の一般解は\begin{equation}u=AF\left(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right)+Bz^{1-c}F\left(\begin{matrix}1+a-c,1+b-c\\2-c\end{matrix};z\right)\tag{1.5}\end{equation}と書けます(ただし $c\notin\ZZ$ とし、他のケースは考えないことにする)。解の $z=0$ が特異点でなく、一価であるとすると $B=0$ でなくてはなりません。よってその条件を満たす解は第1項の形に限られます。
とすると(1.2)の解である $F(a,b;\frac{a+b+1}{2};z)$ および $F(\frac{a}{2},\frac{b}{2};\frac{a+b+1}{2};4z(1-z))$ は一致するはずです。したがって
\begin{equation}F\left(\begin{matrix}a,b\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};z\right) = F\left(\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{b}{2}\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};4z(1-z)\right)\tag{1.6}\end{equation}
超幾何微分方程式は2階微分方程式なので、任意の解は２つの特殊解の線型結合で表されます。その特殊解としてどんなものを選ぶかはケースバイケースです。例えば過去記事の"Kummer's 24 solutions"を見てください。
(1.1)の解 $F(a,b;c;z)$ は、２つの特殊解によって次のように書けます。\begin{eqnarray}F\left(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right) &=&AF\left(\begin{matrix}a,b\\a+b-c+1\end{matrix};1-z\right) \\&&\quad\quad+B(1-z)^{c-a-b}F\left(\begin{matrix}c-a,c-b\\c-a-b+1\end{matrix};1-z\right)\tag{2.1}\end{eqnarray}$z=1$ を代入すると$$A=F\left(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};1\right)$$ガウスの超幾何定理により\begin{equation}A=\frac{\G(c)\G(c-a-b)}{\G(c-a)\G(c-b)}\tag{2.2}\end{equation}$z=0$ を代入し、ガンマ関数の相反公式を使って変形します。\begin{eqnarray*}1&=&\frac{\G(c)\G(c-a-b)}{\G(c-a)\G(c-b)}\frac{\G(a+b-c+1)\G(1-c)}{\G(b-c+1)\G(a-c+1)}+B\frac{\G(c-a-b+1)\G(1-c)}{\G(1-b)\G(1-a)}\\&=&\frac{\sin\pi(c-a)\sin\pi(c-b)}{\sin\pi c\sin\pi(c-a-b)}-B\frac{\G(a)\G(b)}{\G(c)\G(a+b-c)}\frac{\sin\pi a\sin\pi b}{\sin\pi c\sin\pi(c-a-b)}\end{eqnarray*}分母を払って\begin{eqnarray*}B\frac{\G(a)\G(b)}{\G(c)\G(a+b-c)}\sin\pi a\sin\pi b &=& \sin\pi(c-a)\sin\pi(c-b)-\sin\pi c\sin\pi(c-a-b)\\&=&\sin\pi a\sin\pi b\end{eqnarray*}加法定理ですべてばらばらにしました。よって\begin{equation}B=\frac{\G(c)\G(a+b-c)}{\G(a)\G(b)}\tag{2.3}\end{equation}(2.1)(2.2)(2.3)より
\begin{eqnarray}F\left(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right) &=& \frac{\G(c)\G(c-a-b)}{\G(c-a)\G(c-b)}F\left(\begin{matrix}a,b\\a+b-c+1\end{matrix};1-z\right)\\&&\quad+\frac{\G(c)\G(a+b-c)}{\G(a)\G(b)}(1-z)^{c-a-b}F\left(\begin{matrix}c-a,c-b\\c-a-b+1\end{matrix};1-z\right)\tag{2.4}\end{eqnarray}
(2.4)で $a\to\frac{a}{2}$ , $b\to\frac{b}{2}$ , $c\to\frac{a+b+1}{2}$ , $z\to4z(1-z)$ とします。\begin{eqnarray}F\left(\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{b}{2}\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};4z(1-z)\right) &=& \frac{\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})}{\G(\frac{a+1}{2})\G(\frac{b+1}{2})}F\left(\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{b}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix};(1-2z)^2\right)\\&&\quad-\frac{2\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})}{\G(\frac{a}{2})\G(\frac{b}{2})}(1-2z)F\left(\begin{matrix}\frac{a+1}{2},\frac{b+1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix};(1-2z)^2\right)\tag{3.1}\end{eqnarray}左辺に(1.6)を用います。\begin{eqnarray}F\left(\begin{matrix}a,b\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};z\right) &=& \frac{\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})}{\G(\frac{a+1}{2})\G(\frac{b+1}{2})}F\left(\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{b}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix};(1-2z)^2\right)\\&&\quad-\frac{2\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})}{\G(\frac{a}{2})\G(\frac{b}{2})}(1-2z)F\left(\begin{matrix}\frac{a+1}{2},\frac{b+1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix};(1-2z)^2\right)\tag{3.2}\end{eqnarray}$z=\frac{1\pm\sqrt{x}}{2}$ を代入します。\begin{eqnarray}F\left(\begin{matrix}a,b\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};\frac{1\pm\sqrt{x}}{2}\right) &=& \frac{\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})}{\G(\frac{a+1}{2})\G(\frac{b+1}{2})}F\left(\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{b}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix};x\right)\\&&\quad\pm\frac{2\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})}{\G(\frac{a}{2})\G(\frac{b}{2})}\sqrt{x}F\left(\begin{matrix}\frac{a+1}{2},\frac{b+1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix};x\right)\tag{3.3}\end{eqnarray}(3.3)を足し引きすることで次の2式を得ます。
\begin{eqnarray}\frac{2\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})}{\G(\frac{a+1}{2})\G(\frac{b+1}{2})}F\left(\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{b}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix};z\right)&=&F\left(\begin{matrix}a,b\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};\frac{1+\sqrt{z}}{2}\right)\\&&\quad+F\left(\begin{matrix}a,b\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};\frac{1-\sqrt{z}}{2}\right)\tag{3.4}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\frac{4\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})}{\G(\frac{a}{2})\G(\frac{b}{2})}\sqrt{z}F\left(\begin{matrix}\frac{a+1}{2},\frac{b+1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix};z\right)&=&F\left(\begin{matrix}a,b\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};\frac{1+\sqrt{z}}{2}\right)\\&&\quad-F\left(\begin{matrix}a,b\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};\frac{1-\sqrt{z}}{2}\right)\tag{3.5}\end{eqnarray}
(3.4)(3.5)は、冒頭で紹介したKummer(1836)のp83 (75)(76)式にあたります。
次の記事：
二次変換公式の作り方：
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