整数次の第2種ベッセル関数\begin{equation}Y_n(x)=\displaystyle\lim_{\nu\to n}\frac{\cos\nu\pi J_\nu(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin\nu\pi}\tag{1}\end{equation}を級数で書き下す．
ベッセルの微分方程式\begin{equation}x^2y^{\prime\prime}+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 \quad (\nu \in \mathbb{R})\tag{2}\end{equation}をフロベニウス法によって解くと，特殊解\begin{equation}J_\nu(x) = \sum^\infty_{m=0}\frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}\tag{3}\end{equation}を得ます．この $J_\nu(x)$ を第1種ベッセル関数といいます．整数 $n$ に対して $J_n(x)$ と $J_{-n}(x)$ は一次従属であり，\begin{equation}J_n(x)=(-1)^nJ_{-n}(x)\tag{3a}\end{equation}が成立します．
もう１つの特殊解は\begin{equation}\begin{cases}Y_\nu(x)=\displaystyle\frac{\cos\nu\pi J_\nu(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin\nu\pi}\quad (\nu\notin\ZZ)\\[1em] Y_n(x)=\displaystyle\lim_{\nu\to n}Y_\nu(x)\quad (n\in\ZZ)\end{cases}\tag{4}\end{equation}この $Y_\nu(x)$ を第2種ベッセル関数といいます．
ベッセルの微分方程式と第1種ベッセル関数の導出については
$\nu\notin\ZZ$ のとき，(4)上段の定義より $Y_\nu(x)$ は特殊解 $J_\nu(x)$ と $J_{-\nu}(x)$ の線型結合ですので，$Y_\nu(x)$ も明らかに(2)の特殊解です．
しかし $\nu\in\ZZ$ では $\dfrac{0}{0}$ の不定形(indeterminate form)です．なぜなら分母は $\sin n\pi=0$ で分子は$$\cos n\pi J_n(x)-J_{-n}(x)=(-1)^nJ_n(x)-J_{-n}(x)=J_{-n}(x)-J_{-n}(x)=0$$と計算されるからです．なのでこの場合は 式(4)下段のように $\nu\to n$ の極限値をとります．実際に極限を計算してみましょう．
まずロピタルの定理によって変形します．\begin{eqnarray*}Y_n(x)&=&\displaystyle\lim_{\nu\to n}\frac{\cos\nu\pi J_\nu(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin\nu\pi}\\&=&\displaystyle\lim_{\nu\to n}\frac{\frac{d}{d\nu}\left[\cos\nu\pi J_\nu(x)-J_{-\nu}(x)\right]}{\frac{d}{d\nu}\sin\nu\pi}\\ &=&\displaystyle\lim_{\nu\to n}\frac{-\pi\sin\nu\pi J_\nu(x)+\cos\nu\pi\frac{dJ_\nu}{d\nu}-\frac{dJ_{-\nu}}{d\nu}}{\pi\cos\nu\pi}\\&=&\displaystyle\lim_{\nu\to n}\left[-\tan\nu\pi J_\nu(x)+\frac{1}{\pi}\frac{dJ_\nu}{d\nu}-\frac{1}{\pi\cos\nu\pi}\frac{dJ_{-\nu}}{d\nu}\right]\\ &=&\frac{1}{\pi}\displaystyle\lim_{\nu\to n}\left[\frac{dJ_\nu}{d\nu}-\frac{1}{\cos\nu\pi}\frac{dJ_{-\nu}}{d\nu}\right]\tag{5} \end{eqnarray*}いったんここでストップです．
ここからの計算に当たって予備知識を．ガンマ関数の対数微分をディガンマ関数といい，以下のように定義されます．
\begin{equation}\psi(x)\equiv \left(\ln\G(x)\right)'=\frac{\G'(x)}{\G(x)}\tag{6}\end{equation}
$$\psi(x+1)=\left(\ln\G(x+1)\right)'=\left(\ln\G(x)+\ln x\right)'$$より\begin{equation}\psi(x+1)=\psi(x)+\frac{1}{x}\tag{7}\end{equation}なる漸化式を得ます．またディガンマの特殊値として\begin{equation}\psi(1)=-\g\tag{8}\end{equation}ここで $\g$ はオイラー・マスケローニ定数です．
$\G(x)$ と $\psi(x)$ は ともに $x=0,-1,-2\cdots$ で1位の極をもちます．そこで\begin{eqnarray*}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\psi(x)}{\G(x)}&=&\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x\psi(x)}{x\G(x)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x[\psi(x+1)-\frac{1}{x}]}{\G(x+1)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x\psi(x+1)-1}{\G(x+1)}\end{eqnarray*}\begin{equation}\therefore\quad\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\psi(x)}{\G(x)}=-1\tag{9}\end{equation}さらに負整数については $n\in\NN$ として\begin{eqnarray*}\displaystyle\lim_{x\to -n}\frac{\psi(x)}{\G(x)}&=&\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\psi(x-n)}{\G(x-n)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(x-n)\psi(x-n)}{\G(x-n+1)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(x-n)[\psi(x-n+1)-\frac{1}{x-n}]}{\G(x-n+1)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(x-n)\psi(x-n+1)-1}{\G(x-n+1)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to 0}\left[(x-n)\frac{\psi(x-n+1)}{\G(x-n+1)}-\frac{1}{\G(x-n+1)}\right]\\&=&\displaystyle\lim_{x\to 0}(x-n)\frac{\psi(x-n+1)}{\G(x-n+1)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to -(n-1)}(x-1)\frac{\psi(x)}{\G(x)}\\&=&-n\displaystyle\lim_{x\to -(n-1)}\frac{\psi(x)}{\G(x)}\end{eqnarray*}繰り返して最後に(9)を利用すれば\begin{equation}\therefore\quad\displaystyle\lim_{x\to -n}\frac{\psi(x)}{\G(x)}=n!(-1)^{n-1}\quad(n\in\ZZ^+)\tag{10}\end{equation}
なおガンマ関数についてはこちらで深く学ぶことができます。
というわけで，このあと利用する等式をまとめると
\begin{equation}\psi(x+1)=\psi(x)+\frac{1}{x}\tag{7}\end{equation}\begin{equation}\psi(1)=-\g\tag{8}\end{equation}\begin{equation}\displaystyle\lim_{x\to -n}\frac{\psi(x)}{\G(x)}=n!(-1)^{n-1}\quad(n\in\ZZ^+)\tag{10}\end{equation}
ここで(5)の第1項を計算します．\begin{eqnarray*}\frac{dJ_\nu}{d\nu}&=& \sum_{m=0}^\infty\left[-\frac{(-1)^m\G'(m+\nu+1)}{m!\G^2(m+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}+\frac{(-1)^m}{m!\G(m+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}\ln\frac{x}{2}\right]\\&=&J_\nu(x)\ln\frac{x}{2}-\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m\psi(m+\nu+1)}{m!\G(m+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}\quad(\because(6))\end{eqnarray*}
(5)の第2項を計算します．\begin{eqnarray*}\frac{dJ_{-\nu}}{d\nu}&=&\sum_{m=0}^\infty\left[\frac{(-1)^m\G'(m-\nu+1)}{m!\G^2(m-\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m-\nu}-\frac{(-1)^m}{m!\G(m-\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m-\nu}\ln\frac{x}{2}\right]\\&=&-J_{-\nu}(x)\ln\frac{x}{2}+\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m\psi(m-\nu+1)}{m!\G(m-\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m-\nu}\quad(\because(6))\end{eqnarray*}
これより(5)は\begin{eqnarray*}\displaystyle\lim_{\nu\to n}\left[\frac{dJ_\nu}{d\nu}-\frac{1}{\cos\nu\pi}\frac{dJ_{-\nu}}{d\nu}\right]&=&J_n(x)\ln\frac{x}{2}-\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m\psi(m+n+1)}{m!\G(m+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+n}\\&&-(-1)^n\left[-J_{-n}(x)\ln\frac{x}{2}+\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m\psi(m-n+1)}{m!\G(m-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m-n}\right]\\&=&2J_n(x)\ln\frac{x}{2}-\left[\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m\psi(m+n+1)}{m!\G(m+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+n}+(-1)^n\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m\psi(m-n+1)}{m!\G(m-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m-n}\right]\end{eqnarray*}ただし最後の変形で(3a)を用いました．よって\begin{equation}Y_n(x)=\frac{2}{\pi}J_n(x)\ln\frac{x}{2}-\frac{1}{\pi}\left[\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m\psi(m+n+1)}{m!\G(m+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+n}+(-1)^n\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m\psi(m-n+1)}{m!\G(m-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m-n}\right]\tag{11}\end{equation}この式より明らかに $Y_n=(-1)^nY_{-n}$ なので $n$ を非負整数に限定して値を求めれば負整数の値もすぐに求まります．
$n=0$ のとき
まず $Y_0$ を求めます．(11)より\begin{eqnarray*}Y_0(x)&=&\frac{2}{\pi}J_0(x)\ln\frac{x}{2}-\frac{1}{\pi}\left[\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m\psi(m+1)}{(m!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m}+\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m\psi(m+1)}{(m!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m}\right]\\&=&\frac{2}{\pi}J_0(x)\ln\frac{x}{2}-\frac{2}{\pi}\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m\psi(m+1)}{(m!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m}\\&=&\frac{2}{\pi}J_0(x)\ln\frac{x}{2}-\frac{2}{\pi}\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m}{(m!)^2}(-\g+h_m)\left(\frac{x}{2}\right)^{2m}\quad\because (7)(8)\end{eqnarray*}ここで $h_m$ は調和数で$$h_m\equiv\sum_{k=1}^m\frac{1}{k}\quad,\quad h_0\equiv 0$$よって\begin{equation}Y_0(x)=\frac{2}{\pi}J_0(x)\left(\g+\ln\frac{x}{2}\right)-\frac{2}{\pi}\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^mh_m}{(m!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m}\tag{12}\end{equation}
$n\ge 1$ のとき
次に自然数次のときの $Y_n$ を求めます．(11)より$$Y_n(x)=\frac{2}{\pi}J_n(x)\ln\frac{x}{2}-\frac{1}{\pi}\left[\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m(-\g+h_{m+n})}{m!(m+n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+n}+(-1)^n\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m\psi(m-n+1)}{m!\G(m-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m-n}\right]$$2つ目のシグマの項は\begin{eqnarray*}&&(-1)^n\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m\psi(m-n+1)}{m!\G(m-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m-n}\\&=&(-1)^n\left[\sum_{m=0}^{n-1}\frac{(-1)^m\psi(m-n+1)}{m!\G(m-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m-n}+\sum_{m=n}^\infty\frac{(-1)^m\psi(m-n+1)}{m!\G(m-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m-n}\right]\\&=&(-1)^n\left[\sum_{m=0}^{n-1}\frac{(-1)^m\psi(m-n+1)}{m!\G(m-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m-n}+\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^{m+n}\psi(m+1)}{(m+n)!m!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+n}\right]\\&=&(-1)^n\sum_{m=0}^{n-1}\frac{(-1)^m\psi(m-n+1)}{m!\G(m-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m-n}+\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m(-\g+h_m)}{(m+n)!m!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+n}\\&=&\sum_{m=0}^{n-1}\frac{(n-m-1)!}{m!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m-n}+\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m(-\g+h_m)}{(m+n)!m!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+n}\;\because(10)\end{eqnarray*}よって $Y_n$ は\begin{eqnarray*}Y_n(x)&=&\frac{2}{\pi}J_n(x)\ln\frac{x}{2}\\&&-\frac{1}{\pi}\Biggl[\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m(-\g+h_{m+n})}{m!(m+n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+n}\\&&\quad+\sum_{m=0}^{n-1}\frac{(n-m-1)!}{m!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m-n}+\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m(-\g+h_m)}{(m+n)!m!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+n}\Biggr]\\&=&\frac{2}{\pi}J_n(x)\left(\g+\ln\frac{x}{2}\right)\\&&-\frac{1}{\pi}\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m(h_m+h_{m+n})}{m!(m+n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+n}-\frac{1}{\pi}\sum_{m=0}^{n-1}\frac{(n-m-1)!}{m!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m-n}\end{eqnarray*}これで整数次の第2種ベッセル関数 $Y_n$ を明示できました！さきほど求めた $Y_0$ と見比べると， 最後のシグマの和をとらないことにすればこの式は $n=0$ でも成立します．
以上により(4)で定義される第2種ベッセル関数 $Y_\nu(x)$ の整数次における明示式は，$n$ を非負整数として
\begin{eqnarray*}Y_n(x)=&&\frac{2}{\pi}J_n(x)\left(\g+\ln\frac{x}{2}\right)\\&&-\frac{1}{\pi}\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m(h_m+h_{m+n})}{m!(m+n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+n}\\&&-\frac{1}{\pi}\sum_{m=0}^{n-1}\frac{(n-m-1)!}{m!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m-n}\end{eqnarray*}負整数次は以下により求める．$$Y_{-n}(x)=(-1)^nY_n(x)$$
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