表題の特殊な定積分の値を考察する。この積分は過去に見た積分（下リンクを参照）の考え方を応用して解ける。その際ガンマ関数が登場する。
ガンマ関数が現れるのは下の記事と同じ発想です。
e^{-x^n} の積分(ガンマ関数と極限操作)
経路の取り方は下の記事と同様の着想です。
【複素解析】フレネル積分-三角関数の特殊な積分 sin x^2 , cos x^2
【複素解析】cos(x^3),sin(x^3)の積分(扇形周回積分とガンマ関数)
【複素解析】cos(x^n),sin(x^n) の定積分（フレネル積分を一般化） まずは $n=3$ から。
$$I\equiv \int_0^\infty e^{-x^3}\cos(x^3)dx$$$$J\equiv \int_0^\infty e^{-x^3}\sin(x^3)dx$$
まず $$K\equiv \int_0^\infty e^{-x^3}e^{ix^3}dx=I+iJ$$ とおきます。$K$ を求めて実部・虚部をとれば $I,J$ も求まるということになります。
\begin{eqnarray}K &=& \int_0^\infty e^{-x^3}e^{ix^3}dx\\ &=& \int_0^\infty e^{-(1-i)x^3}dx\\ &=& \int_0^\infty\exp\left[ \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}x^3\right]dx\\ &=& \int_0^\infty\exp\left[ -\left( 2^{\frac{1}{6}}e^{-i\frac{\pi}{12}}x\right)^3\right]dx\end{eqnarray}係数が面倒なので $2^{\frac{1}{6}}x$ を置換して
$$K=\frac{1}{\sqrt[6]{2}}\int_0^\infty\exp\left[ -\left( e^{-i\frac{\pi}{12}}x\right)^3\right]dx$$
いま、複素積分$$\oint e^{-z^3}dz$$を考えます。経路を図のように定めます。
複素平面第4象限に半径 $R$ の扇形を作り、のちに $R\to\infty$ とします。実は $\Gamma_3$ こそが求めたい積分（にマイナスをつけたもの）です。
被積分関数は閉曲線内で極をもたないため、コーシーの積分定理より周回積分は $0$ となります。
$$0=\oint e^{-z^3}dz=\int^R_0e^{-x^3}dx+\int_{\Gamma_2}e^{-z^3}dz+\int_{\Gamma_3}e^{-z^3}dz$$
第1項 ($\Gamma_1$) の線積分は $R\to\infty$ の極限で$$\int^\infty_0e^{-x^3}dx=\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)$$これは $x^3=y$ の置換によって現れます。
$\Gamma_2$ の線積分において，$z=Re^{i\theta}$ と置換します。
\begin{eqnarray}\left|\int_{\Gamma_2}e^{-z^3}dz\right| &=& \left|\int^{-\frac{\pi}{12}}_0iRe^{i\theta}e^{-R^3(\cos3\theta+i\sin3\theta)}d\theta\right|\\&=& \left|\int^{-\frac{\pi}{12}}_0Re^{i(\theta-R^3\sin3\theta)}e^{-R^3\cos3\theta}d\theta\right|\\ &\le& \int^{-\frac{\pi}{12}}_0\left| Re^{i(\theta-R^3\sin3\theta)}e^{-R^3\cos3\theta}\right|d\theta\\ &=& \int^{-\frac{\pi}{12}}_0\left| Re^{-R^3\cos3\theta}\right|d\theta\xrightarrow[R\to\infty]{}0\end{eqnarray}
$\Gamma_3$の経路は点 $Re^{-i\frac{\pi}{12}}$ から点 $0$ を結ぶ線分なので、$z=e^{-i\frac{\pi}{12}}x$ と置換して $x$ の積分範囲を $R$ から $0$ とすることで積分できます。
\begin{eqnarray}\int_{\Gamma_3}e^{-z^3}dz &=& \int^0_Re^{-(e^{-i\frac{\pi}{12}}x)^3}\cdot e^{-\frac{\pi}{12}i}dx\\ &\xrightarrow[R\to\infty]{}& -e^{\frac{\pi}{12}i}\int^\infty_0e^{-(e^{-i\frac{\pi}{12}}x)^3}dx\end{eqnarray}
以上の結果から、扇形の周回積分は極限において$$0=\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)+0-e^{-\frac{\pi}{12}i}\int^\infty_0e^{-(e^{-i\frac{\pi}{12}}x)^3}dx$$整理して$$\int_0^\infty\exp\left[ -\left( e^{-i\frac{\pi}{12}}x\right)^3\right]dx=e^{\frac{\pi}{12}i}\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)$$
$K$ に代入できて\begin{eqnarray}K&=&\frac{1}{\sqrt[6]{2}}\int_0^\infty\exp\left[ -\left( e^{-i\frac{\pi}{12}}x\right)^3\right]dx\\ &=& \frac{1}{\sqrt[6]{2}}e^{\frac{\pi}{12}i}\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)\\ &=& \frac{1}{\sqrt[6]{2}}\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)\end{eqnarray}
$\cos\displaystyle\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ , $\sin\displaystyle\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ であることと $K=I+iJ$ であることを思い出せば$$I=\frac{\sqrt{3}+1}{2^{5/3}}\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)$$$$J=\frac{\sqrt{3}-1}{2^{5/3}}\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)$$
$$\int_0^\infty e^{-x^3}\cos(x^3)dx=\frac{\sqrt{3}+1}{2^{5/3}}\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)$$$$\int_0^\infty e^{-x^3}\sin(x^3)dx=\frac{\sqrt{3}-1}{2^{5/3}}\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)$$
3乗について計算しましたが、まったく同じ方法でほかの自然数にも拡張できると予想されます。
$n\in\mathbb{N}$ に対し$$I_n\equiv \int_0^\infty e^{-x^n}\cos(x^n)dx$$$$J_n\equiv \int_0^\infty e^{-x^n}\sin(x^n)dx$$はいかなる値か．
$$K_n\equiv \int_0^\infty e^{-x^n}e^{ix^n}dx=I_n+iJ_n$$ とおきます。$K_n$ を求めて実部・虚部をとれば $I_n,J_n$ も求まります。\begin{eqnarray}K_n &=& \int_0^\infty e^{-x^n}e^{ix^n}dx\\ &=& \int_0^\infty e^{-(1-i)x^n}dx\\ &=& \int_0^\infty\exp\left[ \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}x^n\right]dx\\ &=& \int_0^\infty\exp\left[ -\left( 2^{\frac{1}{2n}}e^{-i\frac{\pi}{4n}}x\right)^n\right]dx\end{eqnarray}
$2^{1/2n}$ が何となく邪魔なので、$2^{1/2n}x=y$ と置換した後、変数をまた $x$ に戻します。
$$K_n=2^{-\frac{1}{2n}}\int_0^\infty\exp\left[ -\left( e^{-i\frac{\pi}{4n}}x\right)^n\right]dx$$
複素積分$$\oint e^{-z^n}dz$$を考えます。経路を図のように定めます。
$n=3$ のときは中心角 $\pi/12$ の扇形を周回しましたが、中心角を $\pi/4n$ として全く同様に今回の積分を考えることができます。複素平面第4象限に半径 $R$ の扇形を作り、のちに $R\to\infty$ とします。$\Gamma_3$ こそが求めたい積分（にマイナスをつけたもの）です。$\Gamma_2$ での積分値が $0$ になるので $\Gamma_3$ の積分値（のマイナス）は $\Gamma_1$ の積分値となりそうです。詳しくみていきましょう。
被積分関数は閉曲線内で極をもたないため、コーシーの積分定理より、この周回積分は $0$ となります。$$\oint e^{-z^n}dz=0$$周回経路を図のように3パートに分けます。経路 $\Gamma_1$ はあきらかに普通の1変数 $x$ の積分なので書き換えておくと以下のようになります。$$0=\oint e^{-z^n}dz=\int^R_0e^{-x^n}dx+\int_{\Gamma_2}e^{-z^n}dz+\int_{\Gamma_3}e^{-z^n}dz$$
第1項 ($\Gamma_1$) の線積分は $R\to\infty$ の極限で$$\int^\infty_0e^{-x^n}dx$$となりますが、ここで $x^n=y$ と置換し$$\frac{1}{n}\int_0^\infty e^{-y}y^{\frac{1}{n}-1}dy$$となります。よってガンマ関数の定義から明らかなように$$\int^\infty_0e^{-x^n}dx=\frac{1}{n}\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)=\Gamma\left(\frac{n+1}{n}\right)$$
$\Gamma_2$ の線積分において，$z=Re^{i\theta}$ と置換します。$\theta$ の積分範囲は$0$ から $-\pi/4n$ です。\begin{eqnarray}\left|\int_{\Gamma_2}e^{-z^n}dz\right| &=& \left|\int^{-\frac{\pi}{4n}}_0iRe^{i\theta}e^{-R^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)}d\theta\right|\\&=& \left|\int^{-\frac{\pi}{4n}}_0Re^{i(\theta-R^n\sin n\theta)}e^{-R^n\cos n\theta}d\theta\right|\\ &\le& \int^{-\frac{\pi}{4n}}_0\left| Re^{i(\theta-R^n\sin n\theta)}e^{-R^n\cos n\theta}\right|d\theta\\ &=& \int^{-\frac{\pi}{4n}}_0\left| Re^{-R^n\cos n\theta}\right|d\theta\xrightarrow[R\to\infty]{}0\end{eqnarray}
よって第2項は極限をとると $0$ となります。
$\Gamma_3$の経路は点 $Re^{-i\frac{\pi}{4n}}$ から点 $0$ を結ぶ線分なので、$z=e^{-i\frac{\pi}{4n}}x$ と置換して $x$ の積分範囲を $R$ から $0$ とすることで積分できます。
\begin{eqnarray}\int_{\Gamma_3}e^{-z^n}dz &=& \int^0_Re^{-(e^{-i\frac{\pi}{4n}}x)^n}\cdot e^{-\frac{\pi}{4n}i}dx\\ &\xrightarrow[R\to\infty]{}& -e^{\frac{\pi}{4n}i}\int^\infty_0e^{-(e^{-i\frac{\pi}{4n}}x)^n}dx\end{eqnarray}
以上の結果から、扇形の周回積分は極限において$$0=\Gamma\left(\frac{n+1}{n}\right)+0-e^{-\frac{\pi}{4n}i}\int^\infty_0e^{-(e^{-i\frac{\pi}{4n}}x)^n}dx$$整理して$$\int_0^\infty\exp\left[ -\left( e^{-i\frac{\pi}{4n}}x\right)^n\right]dx=e^{\frac{\pi}{4n}i}\Gamma\left(\frac{n+1}{n}\right)$$これを $K_n$ に代入します。\begin{eqnarray}K_n &=&2^{-\frac{1}{2n}}\int_0^\infty\exp\left[ -\left( e^{-i\frac{\pi}{4n}}x\right)^n\right]dx\\ &=& 2^{-\frac{1}{2n}}e^{\frac{\pi}{4n}i}\Gamma\left(\frac{n+1}{n}\right)\\ &=& 2^{-\frac{1}{2n}}\Gamma\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(\cos\frac{\pi}{4n}+i\sin\frac{\pi}{4n}\right)\end{eqnarray}残念ながらこれ以上計算は進みませんが、実部・虚部をとって
$$\int_0^\infty e^{-x^n}\cos(x^n)dx=2^{-\frac{1}{2n}}\Gamma\left(\frac{n+1}{n}\right)\cos\frac{\pi}{4n}$$$$\int_0^\infty e^{-x^n}\sin(x^n)dx=2^{-\frac{1}{2n}}\Gamma\left(\frac{n+1}{n}\right)\sin\frac{\pi}{4n}$$
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