無限級数の収束性１(コーシー、ダランベールなど)

【証明】$a_n \ge 0$ です。交代級数の定め方から\begin{eqnarray*}S_{2n+2}\le S_{2n}\quad,\quad S_{2n+1} \ge S_{2n-1}\end{eqnarray*}ですので $\{S_{2n}\}$ は単調減少、$\{S_{2n-1}\}$ は単調増加です。また\begin{eqnarray*}S_{2n} &=& S_{2n-1}+a_{2n}\ge S_{2n-1}\ge S_{2n-3}\ge \cdots \ge S_1\\S_{2n-1} &=& S_{2n-2}-a_{2n-1}\le S_{2n-2}\le S_{2n-4}\le \cdots \le S_2\end{eqnarray*}こちらの記事で示したように、有界な単調列 $\{S_{2n}\}$ , $\{S_{2n-1}\}$ はそれぞれ収束します。$S_{2n}\to\alpha$ とすると、$|S_{2n}-S_{2n-1}|=a_{2n}\to 0$ なので同記事の例題６より$S_{2n-1}\to\alpha$ となります。ゆえに $\{S_{2n}\}$ , $\{S_{2n-1}\}$ は同じ値 $\a$ に収束しますので $S_{n}\to\a$ .

【証明】$S_{2m+1}$ は単調増加、$S_{2m}$ は単調減少より$$|S_{2m+1}-S|=S-S_{2m+1}\le S_{2m+2}-S_{2m+1}=a_{2m+2}$$$$|S_{2m}-S|=S_{2m}-S\le S_{2m}-S_{2m+1}=a_{2m+1}$$【証明終】

【証明】条件より$$\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}\le\frac{a_n}{b_n}\le\cdots\le\frac{a_1}{b_1}$$$$\therefore\quad a_n\le\frac{a_1}{b_1}b_n$$ 定理3.1より$\sum a_n$ は収束。

【証明】正の数列 $\{c_n\}$ に対して$$\sum_{n=1}^\infty\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} = \sum_{n=1}^\infty\frac{(c_1a_1\cdot c_2a_2\cdots c_na_n)^\frac{1}{n}}{(c_1c_2\cdots c_n)^\frac{1}{n}}$$右辺に相加・相乗平均の不等式を用いて\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^\infty\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} &\le& \sum_{n=1}^\infty\frac{c_1a_1+c_2a_2+\cdots +c_na_n}{n(c_1c_2\cdots c_n)^\frac{1}{n}} \\&=& \sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^n\frac{c_ka_k}{n(c_1c_2\cdots c_n)^\frac{1}{n}} \\&=& \sum_{n=1}^\infty\sum_{k=n}^\infty\frac{c_na_n}{k(c_1c_2\cdots c_k)^\frac{1}{k}}\end{eqnarray*}$c_n :=\dfrac{(n+1)^n}{n^{n-1}}$ とおくと$$c_1c_2\cdots c_k=(k+1)^k$$となるので\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^\infty\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} &\le& \sum_{n=1}^\infty\sum_{k=n}^\infty\frac{c_na_n}{k(k+1)} \\&=& \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^n}{n^{n-1}}a_n\sum_{k=n}^\infty\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) \\&=& \sum_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{n}\right)^n a_n\end{eqnarray*}$e^x\ge 1+x\:\Rightarrow\: e^\frac{1}{m}\ge 1+\frac{1}{m}\:\Rightarrow\: e \ge (1+\frac{1}{m})^m$ より $$\sum_{n=1}^\infty\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}<e\sum_{n=1}^\infty a_n$$

【証明】$\rho<1$ とすると、実数の稠密性により $\rho+\epsilon<1$ なる $\epsilon>0$ がとれる。過去記事の定理１より、$\sqrt[n]{a_n}$ の上極限 $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\rho$ に対し$$\forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in \NN\;,\;\forall n\ge N\;,\;\sqrt[n]{a_n}<\rho+\epsilon$$である。よって $a_n<(\rho+\epsilon)^n<1$ より$$\sum_{n=1}^\infty a_n<\sum_{n=1}^\infty (\rho+\epsilon)^n=\frac{\rho+\epsilon}{1-\rho-\epsilon}<+\infty$$で収束する。

次に $\rho>1$ とすると実数の稠密性により $\rho-\epsilon>1$ なる $\epsilon>0$ がとれる。同記事の定理２より無数の $n$ に対して$$\sqrt[n]{a_n}>\rho-\epsilon>1$$すなわち $a_n>(\rho-\epsilon)^n>1$ である。この無数の $a_n$ を順に $b_1,b_2,\cdots,b_k,\cdots$ とすると$$\sum_{k=1}^\infty 1<\sum_{k=1}^\infty (\rho-\epsilon)^k<\sum_{k=1}^\infty b_k<\sum_{n=1}^\infty a_n$$よって $\sum_{n=1}^\infty a_n $ は発散する。

【証明】$\rho<1$ とすると、実数の稠密性により $\rho+\epsilon<1$ なる $\epsilon>0$ がとれる。条件よりその $\epsilon$ に対してある自然数 $N$ が存在し$$\forall n\ge N\quad,\quad \left|\frac{a_{n}}{a_{n-1}}-\rho\right|<\epsilon$$とできる。よって $n\ge N$ ならば$$a_n<(\rho+\epsilon)a_{n-1}<\cdots<(\rho+\epsilon)^{n-N}a_N$$$N$ , $\epsilon$ は $\rho$ に応じて定まった単なる数値であることに留意する。\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^\infty a_n &=&\sum_{n=1}^{N-1} a_n+\sum_{n=N}^\infty a_n \\&=& S_{N-1}+\sum_{n=N}^\infty a_n \\&<& S_{N-1}+\sum_{n=N}^\infty (\rho+\epsilon)^{n-N}a_N \\&=& S_{N-1}+(\rho+\epsilon)^{-N}a_N\sum_{n=N}^\infty (\rho+\epsilon)^{n} \\&=& S_{N-1}+(\rho+\epsilon)^{-N}a_N\frac{(\rho+\epsilon)^{N}}{1-\rho-\epsilon} \\&=&S_{N-1}+\frac{a_N}{1-\rho-\epsilon}<+\infty\end{eqnarray*}で収束する。

次に $\rho>1$ とすると、実数の稠密性により $\rho-\epsilon>1$ なる $\epsilon>0$ がとれる。同様の議論により、この $\epsilon$ に対し自然数 $N$ があって $n\ge N$ ならば$$a_n>(\rho-\epsilon)^{n-N}a_N$$となるので\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^\infty a_n &>& S_{N-1} + \sum_{n=N}^\infty (\rho-\epsilon)^{n-N}a_N \\&=& S_{N-1} + \frac{a_N}{(\rho-\epsilon)^N}\sum_{n=N}^\infty (\rho-\epsilon)^{n}\end{eqnarray*}よって発散。