関数列が一様コーシーであるとはどういうことかをイプシロン論法により学びます。関数列が一様コーシーであることと一様収束することは同値です。よって収束先の関数が分からなくても一様コーシーであることが示されれば一様収束であることが証明できるのです。
本題に入る前に「コーシー列」を再確認しておきます。コーシー列は関数列ではなくて、以下のように普通の数列に関する条件です。
任意の $\epsilon>0$ に対してある自然数 $N$ が存在し、$$m,n\ge N\Longrightarrow |a_n-a_m|<\epsilon$$とできる。
数列の収束性は最もオーソドックスには「$|a_n-a|<\epsilon$」で示されますが、これは極限値 $a$ が分からない（予想できない）場合には難しいです。ですのでコーシー列の方法は、収束先は分からないけれど収束することを示したい場合に有効なのです。今回はコーシー列の関数列バージョンをやろうって感じです。
また関数列が一様収束するとは以下のことをいいます。
任意の $\epsilon>0$ に対してある自然数 $N$ が存在し、$$n\ge N\Longrightarrow |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$とできる。
一様収束については過去に解説しました。今回はこの「一様収束」と必要十分な条件「一様コーシー列」について見ていきたいと思います。
関数列の一様収束については
【ε論法】関数列の各点収束と一様収束 関数列 $\{f_n(x)\}$ が定義域で一様コーシーであるとは、その定義域全体で以下が成り立つことです。
任意の $\epsilon>0$ に対してある自然数 $N$ が存在し$$m,n\ge N\Longrightarrow |f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$$とできる。
先ほどのコーシー列の定義と比べると $a_n$ が $f_n(x)$ に変わっているだけです。関数列の場合はすべての $x$ に対して同時に $|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$ となるということです。よってコーシー列の関数列バージョンといえます。
一様コーシー列は一様収束することと同値です（後述）。ですので関数列の収束先が分からなくても一様収束することを示したいときに有効です。
関数列 ${f_n(x)}$ が一様コーシー列であるとします。すると、任意の $\epsilon>0$ に対してある自然数 $N$ が存在し $$m,n\ge N\Longrightarrow |f_n(x)-f_m(x)|<\frac{\epsilon}{2}$$と書けます。
これより明らかに関数列は各点収束します。というのも $x$ を任意に固定すれば、この一様コーシー列の定義は単なるコーシー列を示したものとなり、コーシー列は収束するからです。よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ と書けます。$n$ は任意でしたから$$|f_n(x)-f_m(x)|<\frac{\epsilon}{2}\Rightarrow|f(x)-f_m(x)|\le\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$$よって一様収束します。
数列の不等号について、極限をとると等号が成り立つことがあります。例えば $a_n=0$ , $b_n=1/n$ では $a_n<b_n$ ですが、極限をとると一致します。$\epsilon/2$ のところで $\le$ となっているのはそのためです。
関数列 ${f_n(x)}$ が一様収束するとします。つまり任意の $\epsilon>0$ に対してある自然数 $N$ が存在し$$n\ge N\Longrightarrow |f_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2}$$$$m\ge N\Longrightarrow |f_m(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2}$$の2式を得ます。これより任意の $m,n\ge N$ に対し\begin{eqnarray*}|f_m(x)-f_n(x)|&=&|{f_m(x)-f(x)}-{f_n(x)-f(x)}|\\&\le& |f_m(x)-f(x)|+|f_n(x)-f(x)|\\&<&\epsilon\end{eqnarray*}となるので一様コーシー列です。
以上から一様収束と一様コーシーは互いに必要十分条件であることが示せました。
$f_n(x)=\displaystyle\frac{1}{x^2+n^2}\; \; (x\in\mathbb{R})$ は一様コーシーである。
任意の $\epsilon>0$ に対し $N\epsilon>2$ となる自然数 $N$ をとります。$m,n\ge N$ ならば\begin{eqnarray*}|f_m(x)-f_n(x)|&=&\left|\frac{1}{x^2+m^2}-\frac{1}{x^2+n^2}\right|\\&<& \frac{1}{x^2+m^2} + \frac{1}{x^2+n^2}\\&\le& \frac{1}{n^2}+\frac{1}{m^2}\\&\le&\frac{1}{N^2}+\frac{1}{N^2}\\&=&\frac{2}{N^2}\\&\le&\frac{2}{N}<\epsilon\end{eqnarray*} よって一様コーシーです。
ε論法シリーズ
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一様コーシー列は一様収束するの証明について質問です。
最後ｎ→∞としたときに、ε/２の所の不等号に＝が加わるのはなぜですか？
数列の不等式は、一般に極限で等号がつく可能性があるからです。例えばa_n=0,b_n=1/nではa_n
途中で途切れてしまいました。コメント機能に不具合があるようです。記事内に補足しておきました。