数列の上極限と下極限

本稿の前提知識となる上限・下限についてはこちら

有界性と上限・下限および「上限でない」の解説と例題

数列の収束に関する基本的な記事はこちら：

【ε論法】数列の収束と極限・例題 ～εとNを使って～

$\{L_p\}$ の下限を $L$ とすると$$\forall\epsilon>0,\;\exists n_0\in \NN,\;L_{n_0}<L+\epsilon$$ここで $n_0$ より大きな任意の $n$ に対して$$L_n\le L_{n_0} <L+\epsilon$$$$\therefore\quad|L_n-L|<\epsilon$$よって下限 $L$ は極限である。

【証明】$L$ は $\{L_n\}$ の下限なので $L_n\ge L$ かつ$$\forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in \NN\;,\;L_N<L+\epsilon$$また $L_N=\sup\{a_N,a_{N+1},\cdots\}$ なので、$\forall n\ge N$ で $L_N\ge a_n$ である。よって $\forall n\ge N$ に対し$$a_n\le L_N<L+\epsilon$$【証明終】

【証明】$n$ を任意の自然数で定める。$L$ は $\{L_n\}$ の下限なので $L_n\ge L$ . また $L_n=\sup\{a_n,a_{n+1},\cdots\}$ より$$\forall\epsilon>0\;,\;\exists n_1\ge n\;,\; a_{n_1}>L_n-\epsilon\ge L-\epsilon$$よってこの $n_1$ は定理の条件を満たす。

$n$ は任意であったので $n=n_1+1$ ととれば同様にして $$L_{n_1+1}=\sup\{a_{n_1+1},a_{n_1+2},\cdots\}$$より$$\forall\epsilon>0\;,\;\exists n_2> n_1\;,\; a_{n_2}>L_{n_1+1}-\epsilon\ge L-\epsilon$$したがってこの $n_2$ は定理の条件を満たす。以下繰り返して $a_n>L-\epsilon$ なる $n$ を無数に得る。

【証明終】

【証明】数列 $\{a_n\}$ を考える。

① 数列 $\{a_n\}$ が極限 $\alpha$ をもつとする。$$\forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in\NN\;,\;\forall n\ge N\;,\;|a_n-\alpha|<\frac{\epsilon}{2}$$この $n$ に対して\begin{eqnarray*}L_n &=& \sup\{a_n,a_{n+1},\cdots\} \\ K_n &=& \inf\{a_n,a_{n+1},\cdots\}\end{eqnarray*}である。上限の定義から $$\exists n'\ge n(\ge N)\;,\;a_{n'}>L_n-\frac{\epsilon}{2}$$とできるので$$|L_n-\alpha|<|a_{n'}-\alpha|+|L_n-a_{n'}|<\epsilon$$ 同様にして $|K_n-\alpha|<\epsilon$ も示せるので$$\lim_{n\to\infty}L_n=\lim_{n\to\infty}K_n=\alpha$$

② 数列 $\{a_n\}$ の上極限と下極限がともに $\alpha$ であるとする。$\alpha$ は $\{L_n\}$ の下限なので$$\forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in\NN\;,\; L_N<\alpha+\epsilon$$また $L_N=\sup\{a_N,a_{N+1},\cdots\}$ であることから$$\forall n\ge N\;,\; a_n\le L_N<\alpha+\epsilon $$また同じ $\epsilon$ に対し $\exists N'\in\NN\;,\; K_{N'}<\alpha-\epsilon$ なので$$\forall n\ge N'\;,\; a_n\ge K_{N'}>\alpha-\epsilon$$以上から $N_0=\max\{N,N'\}$ とすると$$\forall\epsilon>0\;,\;\exists N_0\in\NN\;,\;\forall n\ge N_0\;,\;|a_n-\a|<\epsilon$$これは $a_n\to\a$ を意味する。

【証明終】