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数学の記事

調和数を含んだ級数(Euler-sum)とゼータ関数 part17
arcsinの累乗の級数展開と、二項係数・有限多重ゼータを含む級数について
二項係数の逆数を含む級数
【17】オイラーの五角数定理とワトソンの五重積（ヤコビ三重積から得られる公式たち）
【16】ヤコビの三重積
【15】自然数の分割と無限積の展開式２

物理・理科の記事

最新100記事

  • テータ関数５～ヤコビの基本関係式②
    前回のヤコビの基本関係式をもう少し掘り下げて、たくさんの公式を得る方法を紹介する。これまで導出した公式の上位にあるものが見えてくる。
  • テータ関数４～ヤコビの基本関係式①
    ４つのテータ関数の間にはさまざまな関係式が存在する。これらの関係式の上位には一般的な５項間関係式が存在し、次々と演繹される。
  • テータ関数３～周期性と極に注目した加法定理の導出
    テータ関数の第3回。テータ関数を組み合わせて楕円関数をつくり、極に着目して加法定理を導出する。得た公式の特殊化・一般化についても触れる。
  • テータ関数２～零点・2乗の関係
    テータ関数の第2回。前回導いた基本性質を使って、４つのテータ関数の零点の個数や位置、テータ関数の間で成り立つ関係式を導く。
  • テータ関数１～定義と性質
    楕円関数ではないが二重の擬周期をもつテータ関数を解説。４つのテータ関数の最も基本的な変換公式を導出する。
  • ワイエルシュトラスのペー関数９～楕円積分との関係
    前回はこちら： 初等的には計算できないが ℘(z) を使って表すことができる積分（楕円積分）$$\int_{x_0}^x\left(a_0t^4+4a_1t^3+6a_2t^2+ ...
  • ワイエルシュトラスのペー関数８～任意の楕円関数をワイエルシュトラスの関数であらわす
    任意の楕円関数をワイエルシュトラスのペー関数、ゼータ関数、シグマ関数でそれぞれ表現できることを解説する。楕円関数は極や零点によって特徴づけられることが明確になる。
  • 1次元井戸型ポテンシャルの定常状態と確率（係数と分布を求める例題）
    1個の粒子が1次元無限井戸型ポテンシャル$$V(x)=\begin{cases}0\quad & (0<x<a)\\+\infty &(\mathrm{els ...
  • ワイエルシュトラスのペー関数７～シグマ関数：擬周期性をもつ整関数
    ワイエルシュトラスのゼータ関数の積分で定義されるシグマ関数は、楕円関数ではないものの擬周期性をもつ整関数である。今回はこの定義と簡単な性質を解説する。
  • ワイエルシュトラスのペー関数６～擬周期性をもつゼータ関数
    ペー関数の積分で定義されるワイエルシュトラスのゼータ関数は、最早楕円関数ではないものの、擬周期性をもつ。今回はゼータ関数の定義と簡単な性質について広く見ていく。
  • ワイエルシュトラスのペー関数５~周期・不変量・アイゼンシュタイン級数の計算
    ワイエルシュトラスのペー関数において、周期から不変量を、あるいはその逆を導く例を解説。難しい積分とガンマ関数が現れる。同時にアイゼンシュタイン級数の計算例も説明する。
  • ワイエルシュトラスのペー関数４～三次方程式との関係・半周期
    ワイエルシュトラスのペー関数について。導関数の零点、半周期、３次方程式と不変量について解説。
  • ワイエルシュトラスのペー関数３～同次性・加法定理等
    ワイエルシュトラスのペー関数のシュワルツ微分、同次性、加法定理について解説。楕円関数の極や零点に関する性質を応用しよう。
  • ワイエルシュトラスのペー関数２～係数の漸化式,積分公式
    ペー関数の級数展開において、係数にアイゼンシュタイン級数が現れる。その漸化式を導こう。またペー関数を楕円積分の逆関数として表そう。
  • ワイエルシュトラスのペー関数１～基本的性質と級数展開
    シンプルな楕円関数であるペー関数の基本を学ぶ。関数項級数の収束性や偶奇性、周期性、展開式（アイゼンシュタイン級数）について説明する。
  • 楕円関数の定義と基本的性質
    二重周期性によって一般の楕円関数を定義し、零点や極に関する諸性質を確認しよう。偏角の原理もここで解説。
  • RC回路で充電しよう
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。コンデンサーは、その電気容量に応じて電気をためることができます。前回は単純に充電と放電をするだけでしたが、今回は充電中の電流値の変化や、充電した電気量を検 ...
  • y'=(Ax+By+E)/(Cx+Dy+F)の形の微分方程式
    非線型微分方程式シリーズ。前回はこちら： \begin{equation}\frac{dy}{dx}=\frac{Ax+By+E}{Cx+Dy+F}\tag{0}\end{equatio ...
  • ポリトロープとレーン・エムデン方程式
    球対称な密度分布をもつ流体の天体を考えます。例えば太陽のようなガスでできている恒星とか。恒星は中心の密度が一番高く、表面で密度ゼロです。 この星の内部で、半径 r で厚さ dr ...
  • 浮沈子をつくる（浮力の実験）
    理科の超簡単な実験シリーズ。おうちでもできます。 準備物：醤油さし、M6ナット、炭酸のペットボトル 醤油さしは弁当に付属した魚型のものを使いましたが、最近は手に入るのでしょうか？100均 ...
  • 調和数を含んだ級数(Euler-sum)とゼータ関数 part17
    シリーズ前回はこちら： ただし、本記事はむしろ次の記事のつづきという位置づけです： 今回はweight5のEuler-sumで、分母に 2n が入っているもの$$\sum\frac ...
  • logを含む難しい積分18（多重対数関数の積分ふくむ）
    前回はこちら： weight5の積分やEuler-sumを扱います。 はじめに∫10ln3(1−x)ln(1+x)xdxを計算します。\begi ...
  • logを含む難しい積分17
    結果にゼータ関数が現れるタイプの積分を紹介。Euler-sumとよばれるタイプの無限級数とも関連する。
  • logを含む難しい積分16
    前回の続きです。前回はこちら。 前回の(15)式で\begin{equation}\int_0^\infty\frac{\ln^{2k-1}x\ln(1+x)}{x(1+x)}dx=2\ ...
  • logを含む難しい積分15
    前回は： 今回から、何回かに分けて、互いにつながりのあるいくつかの積分を計算していきます。過去記事とダブるものがあるかもしれませんが、掘り起こすのも面倒なので、一からやっていきます。 も ...
  • 火砕岩中の輝沸石
    沸石類についてはあまり標本を見たことがなく、知らないことが多いのと、種類が多くて敬遠しているところです。今回は輝沸石のサンプルを手に入れましたので学んだことをばらばらと書いていきます。 ...
  • 三角関数の積・累乗を組み合わせた積分２
    前回はこちら： やり方は前回と同様ですので、前回の記事を読まれた方は、本記事を読まずともできるかもしれません。 (1a)を示します。(1a)を an と定義すると階差をとって\be ...
  • 三角関数の積・累乗を組み合わせた積分
    本記事で扱う積分を次のように定義します。 積分の計算にはいくつかのアプローチがあります。 こちらで示した、s>0 で成り立つ等式\begin{equation}\int_0^\ ...
  • logを含む難しい積分14（調和数・重積分の応用）
    前回は： 調和数がらみの級数シリーズはこちら： こちらの「2024/6/29」より x≤1 に対して\begin{equation}\int_0^x\frac{t\ln(1-t ...
  • １階の同次形微分方程式（非線型）
    1階非線型微分方程式の同次形の場合の解法。積分因子によって完全方程式を得る方法をまず説明しますが、実践的には変数変換で簡単化する方法がありますので、そちらも紹介します。
  • 自由落下による g の測定
    物理の超簡単な実験シリーズ。今回は重力加速度 g を自由落下により測定します。等加速度直線運動を扱ったあと、その例として落体の運動を学びます。自由落下はそのもっとも単純な運動です。加 ...
  • 1階の非線型微分方程式 - 完全微分方程式・積分因子と具体例
    非線型微分方程式シリーズです。前回はこちら； 今回は1階非線型微分方程式について。特に完全微分方程式によるアプローチと、それへの帰着のさせかたを解説します。 x の関数 y につ ...
  • モホロビチッチ不連続面の深さを計算しよう
    地学の実習。 地殻とマントルの境界をモホロビチッチ不連続面（モホ面）とよびます。人類が最も深く掘った穴はコラ半島にある深さ12km程度のもので、地殻を突破できていません。つまり人類はマン ...
  • 曲線の式から非線型微分方程式をつくる
    非線型微分方程式を解くのはもちろん難しい。ここでは逆に、解から方程式をつくり、非線型方程式の現れ方に馴染んでみよう。その形がいかに予測困難かを実感することも含めて。
  • １階非線型微分方程式の例
    dydx=y2+x非線型微分方程式の有名なカテゴリ「Riccati型」の例題を解く。
  • Ahmed's Integral
    Nahin [1] で紹介されている方法を解説します。1つ目の積分を$$I:=\int_0^1\frac{\arctan\sqrt{2+x^2}}{(1+x^2)\sqrt{2+x^2} ...
  • グラフを描いて海水の層構造を知ろう
    地学の実習。 海は深くなるほど温度が下がります。１つのシンプルな理由としては太陽光を上層で受け、深いところには光が届かないからです。 参考資料[1]には深さと水温のデータがあります。これ ...
  • logを含む難しい積分13（Euler-sumの応用,weight5）
    前回： I:=∫10ln3xln(1−x)1+xdxについて、ln(1−x) と 11+x を級数展開します。$$I ...
  • arcsinの累乗の級数展開と、二項係数・有限多重ゼータを含む級数について
    前回の記事からの延長です： 過去にすでに導出しましたが、Edwards[1] p74に載った別の方法を紹介します。y=f(x):=arcsin2xと定義すると$$y'=\fr ...
  • 二項係数の逆数を含む級数
    @karenonaharaさんのツイートを見て、取り組んでみました。 分母に n の4乗がありますが、本記事を読めばこれが n2 , n3 のときの値もすぐに分かります。 ...
  • 音の干渉
    同じ音源を２つ用意します。昔ながらのものでは音叉がいいでしょう。スマホのアプリやwebブラウザを使って発音してもいいと思います。例：https://onlinetonegenerator ...
  • 音速の測定
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。音の速さを測定してみましょう。 準備物は音源とスマホくらいですが、必要なら50m程度のメジャーを用意します。音源は100m程度離れていても聞こえ、かつ10 ...
  • 発光ダイオードの電流電圧特性を調べよう
    高校物理の実験シリーズ。発光ダイオード（LED）の特性を調べ、回路に応用しましょう。 準備物：赤色LED、抵抗220Ω、電流計と電圧計、可変電源等 すべて通販で買えます。抵抗はセットで買 ...
  • 全波整流回路をつくろう
    高校物理の実験シリーズ。教科書の内容とは少し外れますが、ダイオードを使って整流してみましょう。 先にこちらで半波整流回路の知識を入れておきましょう： 準備物：以下で提示する回路を組む材料 ...
  • ヤコビの楕円関数を含む積分
    ヤコビの楕円関数については： タイトルにある積分として最も簡単な積分をやってみましょう。まずはI1:=∫snudusnu は母数も明示するなら $\ ...
  • 緑色の鉱物を含む閃緑岩
    北海道で採集したものです。 色指数的には石英閃緑岩と思われます。写真では分かりませんが、やや緑がかっていたため、暗緑色の角閃石が豊富な石英閃緑岩かと思いましたが、そう単純ではないようです ...
  • 花崗岩とアプライト
    関西石ころ旅。木津川で拾った２つのアプライトの紹介です。 アプライトは花崗岩質の岩体で見られる、優白質であり完晶質かつ比較的細粒なものをいいます[1]。簡単に言うと、有色鉱物が非常に少な ...
  • 玄武岩中のレビ沸石
    長崎県平戸市で採集したものです。 ガラスが見られず完晶質斑状です。全体に細粒の輝石やかんらん石を石基として多く含んでいること（実体顕微鏡下で何となく判断しましたが、細粒の橄欖石と輝石は区 ...
  • ヤコビの楕円関数３（二重周期性・零点・極）
    前回はヤコビの楕円関数３つを複素数へ拡張しました。複素関数となったからには、零点や極を知っておきたいところ。また、一般の楕円関数を定義づける二重周期性についても解説します。
  • ある4F3の特殊値と逆三角関数および対数正弦積分
    Brychkov[1]の初等関数の定積分を眺めていると なる公式がありました。過去に得られた知見に基づけば、これの証明は難しくありません。 $\arccos x=\frac{\pi}{2 ...
  • 波の独立性や重ね合わせを確認しよう
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。ですが、ウェーブマシンを使用するので学校の先生向けかも。 ウェーブマシンの両端で波を起こします。山１つずつで十分です。このとき、波の大きさを異なるようにし ...
  • 波を起こしてパラメータに慣れよう
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。ですが、ウェーブマシンを使用するので学校の先生向けかも。ですが、何か波をつくれればOK。 まず波の基本的な要素を学習しておきます。横波の伝わる速さや波長、 ...
  • ペットボトルで雲をつくろう
    地学分野の超簡単な実験シリーズ。今日は雲をつくってしまいましょう。 準備物：500mLペットボトル（炭酸飲料のもの）、炭酸を維持するキャップ、エタノール消毒液 2つ目のものは必ずしも必要 ...
  • 半波整流回路をつくろう
    高校物理の実験シリーズ。教科書の内容とは少し外れますが、ダイオードを使って整流してみましょう。 準備物：以下で提示する回路を組む材料（ダイオード、DCモーター、電源トランス、オシロスコー ...
  • ペットボトルで漣痕（リップルマーク）を再現しよう
    高校地学の超簡単な実習シリーズ。おうちでもできます。 地層の学習において、漣痕という言葉が出てきます。水流があると底の砂がなみなみの形になるものです。これをペットボトルと砂を使って再現し ...
  • 化石クイズをしよう
    高校地学（中学理科？）の超簡単な実習シリーズ。おうちでもできます。 化石標本（化石標本12種） /3-654-03 もっと安いのも出回っていますので、適当に買いましょう（自分で発掘しても ...
  • ブラウン運動を見よう
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。ブラウン運動を見てみましょう。 準備物：光学顕微鏡（600倍以上）、スライドガラス、カバーガラス、ウスターソースまたは牛乳 当方、光学顕微鏡600倍で確認 ...
  • 角閃石岩
    超塩基性の深成岩のうち、有色鉱物がほとんど角閃石であるものを角閃石岩（Hornblendite）といいます。マグマ内で晶出した角閃石がマグマだまりの底に沈殿してできたものです。斜長石が晶 ...
  • タービダイトと砂岩泥岩互層を再現しよう
    高校地学の超簡単な実験シリーズ。おうちでもできます。 準備物：スプーン１つ、コップ等の容器１つ、泥、砂、透明な細長い容器 透明な細長い容器については、本記事ではメスシリンダーを使いました ...
  • 流紋岩質溶結凝灰岩（室生火砕流）
    関西石ころ旅。京都府木津川市の木津川で採れた転石の紹介です。 全体的に黒い岩石です。上写真で、一定の方向に黒い模様が入っているのが分かるでしょうか。これは軽石が熱で溶けて引き延ばされなが ...
  • 二重スリットで光の干渉縞をみよう
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。おうちでもできます。レーザー光を二重スリットに通して干渉縞をつくりましょう。
  • コンデンサーの直列・並列回路の電圧を測定しよう
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。コンデンサー２つを直列または並列につなぎ、それぞれのコンデンサーにかかる電圧を測定します。これにより、教科書の理論との一致を確認できます。
  • ヤコビの楕円関数２（定義域の拡張・半角公式・倍角公式・展開）
    ３つのヤコビの楕円関数の定義域を、周期性や加法定理に注目して複素数全体にまで拡張します。さらに半角の公式や倍角の公式を導出し、三角関数や双曲線関数との類似性を確認します。
  • 階段を駆け上がったときの仕事・仕事率は？
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。仕事や仕事率を求める実験はいろいろありますが、台車などの実験器具を使わずとも、自分の体でやればいいのではないでしょうか。軽く運動することで、した仕事すなわ ...
  • コンデンサーに電気をためよう
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。コンデンサーは、その性能に応じて電気をためることができます。実際に貯まっていることを確かめてみましょう。
  • 光の道筋を見よう！レンズによる屈折と反射
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。安価な道具で、光が屈折や反射していく道筋を見てみましょう。
  • ヤコビの楕円関数（定義・導関数・加法定理）
    楕円関数の初歩。「ヤコビの楕円関数」という特別なものから導入します。ヤコビの楕円関数は、三角関数と類似の性質をもつので親しみやすいです。
  • あなたの肩力は？ 斜方投射と初速度・最高到達点
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。今回は斜方投射の学びを深める実験です。
  • 10m走で速度・加速度を計ろう
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。高校物理のはじめに勉強する速度と加速度。速度はともかく加速度はひとつの鬼門です。このあたりの話では、「1秒当たり」というのがカギになります。かかる時間を1 ...
  • 音叉は不要！スマホでドップラー効果
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。今回はドップラー効果を体感する実習を紹介します。ドップラー音叉は高級品で、買うなんてとんでもない…という方には、スマホで完結するのでオススメです。
  • あなたの接地圧は？ 足形をとってみよう！
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。あなたが立っているとき、地面にどれくらいの圧力をかけているのでしょう？
  • 紙コップで体重を支える!? 圧力の導入実験
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。大きな面積で支えると、重いものでもつぶれません。圧力のお話。
  • 楕円積分がみたす微分方程式とルジャンドルの関係式・singular value
    第1種完全楕円積分と第2種完全楕円積分が満たすルジャンドルの関係式を導出します。その際、これらの楕円積分が満たす微分方程式を利用します。またsingular valueについても解説。
  • 簡易真空容器を使った減圧実験（膨張・沸点降下）
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。今回は簡易真空容器を使って減圧することによる面白い現象を観察します。
  • 浮力の測定と密度・体積の計算
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。今回は浮力の測定および物体の密度や体積の計算です。
  • 簡単実験！最大静止摩擦力の測定
    高校物理の超簡単な実験シリーズ。今回は最大静止摩擦力の測定です。
  • Integrals and Miscellaneous 20
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  • 完全楕円積分と算術幾何平均・上昇/下降変換
    第1種および第2種完全楕円積分と算術幾何平均の関係からスタートし、それを用いて上昇変換と下降変換を導出します。導関数や級数展開についても紹介。
  • 楕円積分の導入とその計算方法２(ルジャンドル・ヤコビの標準形)
    楕円積分はすべて、初等関数と第1,2,3種楕円積分の線型結合で書かれる（ルジャンドル・ヤコビの標準形）ことを示す。
  • 楕円積分の導入とその計算方法１
    有理関数中に4次多項式の無理函数があるものは、一般的に初等関数の範囲では積分できません。一見、無数のパターンがあってどうにもならなそうなこの積分は、実は数パターンに分類できて、その先に面白い世界が広がっています。
  • 【17】オイラーの五角数定理とワトソンの五重積（ヤコビ三重積から得られる公式たち）
    ∞∏n=1(1−zn)=∞∑n=−∞(−1)nzn(3n−1)2無限積の理論シリーズ第17回。ヤコビの三重積から得られるオイラーの五角数定理、ガウスの三角数定理、ワトソンの五重積などを解説。
  • 【16】ヤコビの三重積
    ∞∏n=0(1−q2n+2)(1+zq2n+1)(1+q2n+1z)=∞∑n=−∞qn2zn無限積の理論シリーズ第16回。少し複雑な無限積の級数展開からはじめ、有名なヤコビの三重積へと至ります。
  • 【15】自然数の分割と無限積の展開式２
    ∏n∈A11+zn=1+∞∑m=1{Ae(m;A)−Ao(m;A)}zm無限積の理論シリーズ第15回。4種類の無限積を級数展開して、無限積が分割の個数の母関数になることを解説。その応用として「オイラーの分割恒等式」を紹介。
  • 【14】自然数の分割と無限積の展開式
    ∞∏n=111−zn=1+∞∑m=1p(m)zm無限積の理論シリーズ第14回。今回も「無限積＝級数」なる等式を考えますが、無限積をより直接的に級数展開します。すると無限積は分割数の母関数となるという面白い事実が！
  • 【13】素数が無限積と級数をつなぐ（完全乗法的関数）
    ∞∑n=1f(n)=∞∏n=111−f(pn)無限積の理論シリーズ第13回。ゼータ関数の無限積表示を手掛かりに、完全乗法的関数を用いて一般化し、素数が無限積と級数をつなぐ役割を果たすことを見ていきます。
  • 【12】無限積とガンマ関数
    limn→∞nzn!∏nj=0(z+j)無限積の理論シリーズ第12回。今回はガンマ関数の無限積による定義を確認します。ワイエルシュトラスの因数分解定理の視点からも見られます。その定義が、知られたガンマ関数の性質と一致することも見ましょう。
  • 【11】二重無限積
    ∞∏m=1∞∏n=1zmn無限積の理論シリーズ第11回。今回は二重無限積の収束と順序について、例を交えて解説します。
  • ハイパー階乗・K関数とGlaisher-Kinkelin定数②
    A=limn→∞H(n)en24nn22+n2+112K関数の特殊値や対数K関数の積分について、Glaisher-Kinkelin定数のさまざまな表示について説明します。
  • ハイパー階乗・K関数とGlaisher-Kinkelin定数①
    Kinkelinの論文に沿って、階乗よりもさらに巨大な数を表すハイパー階乗、およびそれを複素数まで拡張したK関数に関する等式を導出。そこで現れるGlaisher-Kinkelin定数も紹介。
  • 【10】開円板上の正則関数とBlaschke積
    原点中心で任意の半径の開円板上に零点が与えられたとき、それを零点に持つ正則関数がBlaschke積によってつくれることを説明します。
  • 調和数と超幾何級数3
    ∞∑n=1(a)nn!Hnxn=−ln1−xx(1−x)a+ψ(a)+γ(1−x)a+1a2F1[1,aa+1;1−x]ガンマ関数を微分するとディガンマ関数が出てくることから、調和数H_nが出現する。
  • 【９】整関数とワイエルシュトラスの因数分解定理②（完全版）
    無限積の理論シリーズ第９回。前回のワイエルシュトラスの因数分解定理（簡易版）の考え方に沿って、完全版を用意しましょう。前回が理解できていれば、ほぼ同じような感じです。
  • 【８】整関数とワイエルシュトラスの因数分解定理①（基本乗積・種数）
    無限積の理論シリーズ第８回。今回は任意の整関数を「因数分解」すなわち無限積で表示する理論と具体的方法を紹介します。ワイエルシュトラスの因数分解定理によります。
  • 【７】関数列の無限積における具体例（ヴィエトの公式・ゼータ関数）
    無限積の理論シリーズ第７回。今回は具体的な無限積の例として三角関数を見ていきます。それと絡めてヴィエトの公式、ゼータ関数の特殊値を求めます。
  • 【６】複素関数の無限積・一様収束と正則性
    無限積の理論シリーズ第６回。前回で無限積に関する基本理論は一通り終わりました。今回は関数の無限積を考えます。といっても、収束性についてはこれまで見てきたものと大差なく、一様収束くらいを押さえればOK。
  • 【５】条件収束する無限積の収束性２（積の順序・Pringsheim's Test・regularly convergent）
    条件収束する無限積において、積の順序を変えることができないことや、Cauchy's testを一般化したPringsheim's Testを紹介。regularly convergentについて解説。
  • 二重のlogを含む積分２(複素解析・偏角に注意！)
    被積分関数が２つの複素対数を含むときの、留数定理の活用。
  • 【４】条件収束する無限積の収束性（Cauchy's test）
    無限積の理論シリーズ第4回。条件収束はデリケートで扱いにくい。無限積の収束性を調べるために、対応する無限級数の収束性を調べるという手法が機能しない。そこどCauthy's testを導入する。
  • 【３】無限積の絶対収束と複素数の扱い
    無限積の理論シリーズ第3回。複素数の無限積について、実数と同様にできることと、気を付けなければいけないことを解説。絶対収束という概念を絡め、無限積と無限級数の収束性におけるつながりについても説明。
  • Integrals and Miscellaneous 19
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